La paraula fractals prové de la paraula en llatí “fractus”, que significa “fragmentat”. Són objectes complexos definits amb algoritmes senzills. Pot ser una figura plana o espacial, formada per components infinits, que no varia quan es modifica l’escala d’observació. Dit d’una manera més simple, són models infinits comprimits d’alguna manera en un espai finit. La mateixa estructura es repeteix una quantitat infinita de vegades. I per molt que ens hi acostem, sempre veurem la mateixa figura.
El triangle de Sierpinski és un bon exemple de fractal: una successió de triangles dins d’un triangle que forma part d'una successió de triangles.
Hi ha diferents tipus de fractals i diferents fórmules per descriure’ls.
FRACTAL DE MANDELBROT:
Aquesta successió s’escriu de la següent forma matemàtica:
z0=0, que és el terme inicial.
zn+1=zn2+c, que és la relació d’introducció.
(Diem que “c” és un número complex qualsevol).
FRACTAL DE NEWTON:
Està basat en l’aplicació del mètode de Newton per resoldre sistemes d’equació no lineals. L'algoritme és eficient per trobar aproximacions dels zeros o arrels d'una funció real. També es pot utilitzar per trobar el màxim o el mínim d'una funció, trobant els zeros de la seva primera derivada. La seva equació matemàtica és la següent:
Es comença per un valor pròxim al 0 (al qual anomenarem punt d'arrencada), llavors es reemplaça la funció que tractada per la recta tangent en aquest valor, s'iguala a zero i s'aïlla. Aquest zero serà, generalment, una aproximació millor a l'arrel de la funció. Després, s'apliquen tantes iteracions com es desitgin fins que el mètode d'una solució adequada.
PROPIETATS DELS FRACTALS:
-Dimensió no entera: La dimensió d’un fractal no és un nombre enter, sinó que generalment és un nombre irracional.
-Complexa estructura a qualsevol escala: Les estructures dels fractals acostumen a ser molt complexes. I com bé s’ha dit abans, té la mateixa estructura a qualsevol escala.
-Infinitud: Les seves estructures són infinites.
-Autosimilitud (en alguns casos): Hi ha fractals autosimilars de manera que el tot està format per petits fragments semblants al tot.
TIPUS DE FRACTALS:
No només tenim una espècie de fractals, sinó que hi ha una variació. Els podem dividir en quatre grans categories:
Sistema iterat de funcions: Són funcions composades per elles mateixes. És a dir, una repetició de la forma geomètrica. Aquest procés s’anomena iteració, d’aquí el nom. Alguns exemples d’aquests són el conjunt de Cantor, el Triangle de Sierpiński, la corba de Peano i el floc de neu de Koch.
Fractals recurrents: Són fractals definides per una relació de recurrència* en cada punt d’un espai. Exemples d’aquests són el conjunt de Mandelbrot i el conjunt de Julia.
Fractals aleatòris: Estan generats per processos estocàstics**, i estan relacionats amb la teoria del caos***. Aquests tenen una gran aplicació pràctica ja que ens descriuen diversos objectes del món natural.
Fractals oscilants: Aquests deriven dels fractals recurrents. De forma alternativa s’interen dos o més funcions diferents fins a la convergencia d’un determinat valor, o fins a la divergència cap a l’infinit.
EXEMPLES EN LA NATURALESA:
MUNTANYES: La muntanya es modifica tota ella a gran o a petita escala, de la mateixa manera. Així, trobem en el perfil resultant similituds a petita i a gran escala. Similituds entre el perfil d'una muntanya i el d'una petita pedra d'aquesta muntanya.
LÍNIES DE COSTES: Quan ens referim que les costes són fractals, no ens referim al fet que puguin expressar-se amb una fórmula exacta. Però encara i així, podem definir un model matemàtic fractal que s'ajusti amb un marge determinat d'error. Si observem de lluny les costes, podem veure els seus golfs i els seus caps. Si ens apropem en seguim veient a menor escala.
EL NOSTRE COS: (sistema arterial): Ens permet alimentar el màxim de cèl·lules, i assegurar la pressió sanguínia. (pulmons): Possibilita l’intercanvi d’oxigen i diòxid de carboni en cada inspiració.
L’ESQUERDA DE LA TIMIDESA DELS ARBRES(crown shyness en anglès): En alguns boscos tropicals, les copes dels arbres no deixen passar la llum. En altres casos, entre copa i copa, es deixa unes finíssimes escletxes anomenades esquerdes de "la timidez". Això és degut al fet que no s'arriben a tocar per una quantitat molt petita d'espai. Si hi veiem des de baix, es veu com no és del tot aleatori, i hi ha algun patró. Aquests patrons vénen a ser els fractals.
NÚVOLS: Al igual que les costes, de lluny podem veure un núvol, però si ens aproximem podem apreciar petits núvols independents.
RIUS: Les ramificacions dels diferents cabals i afluents des del naixement fins a la desembocadura d'alguns rius o la multitud d'entrants i sortints de les línies costaneres, formen el conjunt de corbes amb propietats fractals.
BRÒQUIL ROMANESCO (Brassica oleracea): Producte de l’encreuament entre el broquil i el brocoli, el romanesco té una estructura fascinantment matemàtica. Com es pot observar a la fotografia, el romanesco té una estructura fractal. El romanesco te una forma conica, com de piràmide generada d’una espiral. Doncs be, a més a més, el nombre d’inflorescencies (conjunts de flors agrupades) coincideixen amb els nombres de Fibonacci.
FALGUERA: Mostra una autosimilitud quasi perfecta entre les seves ramificacions. Una de les qualitats que comparteixen les ramificacions amb la resta de fractals que podríem definir com un "fractal natural" d'iteracions limitades. Aquesta propietat permet maximitzar la superfície, captar el màxim de llum, diòxid de carboni i oxigen en el cas de les plantes.
Com bé hem dit anteriorment amb l’exemple de les costes, aquests fractals que podem veure en la naturalesa formen part del grup dels “fractals aleatoris”. Aquests són infinits, i van creixent més i més. Per tant, si féssim la llista sencera, aquesta seria infinita.
Conceptes:
*Relació de recurrència: és una equació que defineix una seqüència interminable. Cada terme de la seqüència és definit com una funció del terme anterior.
**Processos estocàstics: són uns conceptes que serveixen per caracteritzar un seguit de variables aleatòries que evolucionen en funció d’una altra variable.
***La teoria del caos: Són diferents sistemes complexos i sistemes dinàmics molt sensibles a les variacions de les condicions inicials. Aquesta teoria determina que el resultat d’alguna cosa és determinat per diferents variables i que és impossible predir.
BIBLIOGRAFIA: